LA NOTION DE COVARIANCE

Penchons nous encore un instant sur l'illustration précédente. Nous avons visualisé trois actions (1), (2) et (3). Si nous formons un portefeuille groupant les titres (1), (2) et (3) il sera possible de dégager une meilleure rentabilité espérée pour le risque assumé que pour chacun des trois titres.

La rentabilité du portefeuille "combiné" sera la somme des rentabilités espérées de chaque titre pris individuellement pondérées par leur poids respectif dans le portefeuille. En revanche pour le risque, le raisonnement sera différent. En effet, les risques ne s'additionnent pas forcément (à l'opposé des rentabilités) parce que les titres n'ont pas toujours des évolutions parallèles, c'est-à-dire ont tendance à covarier. La présomption intuitive que moins les titres covarient, plus leurs évolutions sont indépendantes voire opposées, moins le risque sera important, est prouvée mathématiquement. Voilà pourquoi une construction judicieuse de votre portefeuille vous permettra de capter la rentabilité attendue de chacun des titres le composant proportionnellement à leur participation, tout en ayant un risque total inférieur à la somme des risques individuels pondérés. Ce faisant, vous aurez minimisé la partie diversifiable du risque total.

Mathématiquement si nous combinons les séries de rentabilités x et y de deux titres I et J dans un portefeuille Z = al + bJ, la rentabilité espérée du portefeuille Z notée Ez sera égale à: aEi + bEj

Par contre, la variance de Z (son risque) sera égale à a2 Var(i) + b2 Var(j) + 2 ab Cov(i,j)

Cela signifie que la variance de deux variables est égale à la somme des variances de chacune des deux variables plus deux fois leur covariance. Si deux titres ont une covariance négative, le risque du portefeuille combiné sera diminué d'autant.

L'intérêt d'investir dans plusieurs titres est de diminuer partie de leurs risques individuels par la diversification.

Si nous prenons une valeur comme Peugeot, le risque attaché au titre sera une combinaison de plusieurs risques. D'abord, le risque spécifique qui dépend de facteurs propres à la société comme la qualité de son management, sa structure financière, la qualité de ses produits etc. Ensuite, le risque secteur qui couvrira tous les éléments du risque total à mettre sur le compte du secteur de l'automobile. Nous y trouverons les réglementations sur la sécurité routière aussi bien que le prix de l'essence à la pompe. Enfin, la dernière composante du risque total sera le risque systématique ou risque marché, lié à des critères généraux comme le pouvoir d'achat des consommateurs, le taux de croissance de l'économie et son taux d'inflation. Une bonne diversification de portefeuille nous permettra de limiter les deux premières composantes du risque. Reprenons le cas de Peugeot pour comprendre les mérites de la diversification inter-secteurs. Prenons un évènement externe imprévisible (ou facteur risque) comme l'augmentation du prix du baril de pétrole.

L'effet de cet évènement sera désastreux pour Peugeot et pour toute l'industrie automobile car l'augmentation du prix de l'essence à la pompe en découlant nuira aux ventes d'automobiles. En revanche, l'effet de cet évènement sera positif pour les profits d'une compagnie comme Elf qui vendra le carburant.

Si nous détenons dans notre portefeuille ces deux valeurs qui ont une covariance négative (par rapport au facteur risque de la comparaison) nous réduisons à la fois le risque spécifique et le risque secteur du portefeuille, sans toucher à la rentabilité attendue. Plus le portefeuille sera diversifié, moins nous serons soumis à ces risques. Poussé à l'extrême, ce raisonnement nous fera détenir toutes les valeurs du marché en fonction de leur capitalisation boursière. Nous aurons ainsi éliminé deux composantes du risque sur trois.

Harry Markowitz prouve mathématiquement que tout investisseur rationnel utilisera la possibilité qui lui est donnée de diminuer son risque. Le portefeuille risque qui optimisera son investissement sera le portefeuille marché (M) (Le portefeuille marché sera composé de l'ensemble des titres du marché, chacun dét~nu en proportion directe de sa capitalisation boursière rapportée à celle de l'ensemble du marche.), seul portefeuille éliminant les composantes spécifique et secteur du risque. Il achètera donc, soit le marché, soit l'investissement sans risque, soit encore un panachage de ces deux investissements lui permettant de fixer le niveau de risque pour lequel il est "à l'aise" en fonction de sa courbe d'indifférence.

Le portefeuille risque optimal est donc le portefeuille marché.
Le graphe suivant illustre les conclusions de la théorie moderne des marchés de capitaux et reprend les concepts développés sur les trois précédents graphes.

Parti de l'hypothèse que tout investisseur recherche à optimiser la rentabilité de son portefeuille au niveau de risque avec lequel il se sent "à l'aise" (courbe d'indifférence), il choisira fort logiquement un portefeuille risque qui est sur 'a frontière d'efficience. De tous ces portefeuilles, seul le portefeuille marché permet d'éliminer les composantes diversifiables du risque; ce sera donc portefeuille risque optimal (noté M sur le graphe).
Sur un marché efficient l'investisseur devrait combiner le portefeuille sars risque et le portefeuille marché afin d'atteindre son niveau de "confort". Sur le graphe ci-dessus, il positionnera ce portefeuille au point de tangeance entre a droite A-B (appellée par Markowitz droite des marchés de capitaux - c'est sur la droite des marchés de capitaux que se situe l'ensemble des portefeuilles efficients.) et sa courbe d'indifférence.

Le portefeuille optimal de l'homme "très prudent" sera le portefeuille P1, ce!~ de l'homme "modérément prudent" le portefeuille P2.

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Sommaire : Analyse technique

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